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第一部 Inverse kinematics for a 2-joint robot arm using geometry

Inverse kinematics for a 2-joint robot arm using geometry
使用幾何學的 2 關節機器人手臂的逆運動學

We saw this simple two-link robot in the previous lecture about forward kinematics.
我們在上一堂關於正向運動學的講座中看到了這個簡單的雙連桿機器人。

The tooltip pose of this robot is described simply by two numbers, the coordinates x and
該機器人的工具提示姿態由兩個數字簡單描述，坐標 x 和

y with respect to the world coordinate frame.
y 相對於世界坐標系。

So, the problem here is that given x and y, we want to determine the joined angles, Q1
所以，這裡的問題是給定 x 和 y，我們要確定連接角 Q1

and Q2.
和 Q2。

The solution that we’re going to follow in this particular section is a geometric
我們將在本節中遵循的解決方案是幾何

one.
一。

We’re going to start with a simple piece of construction.
我們將從一個簡單的結構開始。

We’re going to overlay the red triangle on top of our robot.
我們將在機器人頂部覆蓋紅色三角形。

We know that the end point coordinate is x, y, so the vertical height of the triangle
我們知道終點坐標是x，y，所以三角形的垂直高度

is y, the horizontal width is x.
是 y，水平寬度是 x。
And, using Pythagoras theorem, we can write r squared equals x squared plus y squared.
並且，使用畢達哥拉斯定理，我們可以寫出 r 平方等於 x 平方加上 y 平方。

So far, so easy.
到目前為止，很容易。

Now, we’re going to look at this triangle highlighted here in red and we want to determine
現在，我們將查看此處以紅色突出顯示的三角形，我們想確定

the angle alpha.
角度α。

In order to do that, we need to use the cosine rule.
為了做到這一點，我們需要使用餘弦規則。

And, if you’re a little rusty on the cosine rule, here is a bit of a refresher.
而且，如果你對余弦規則有點生疏，這裡有一點複習。

We have an arbitrary triangle.
我們有一個任意三角形。

We don’t have to have any right angles in it and we’re going to label the length of
我們不必有任何直角，我們將標記長度

this edge as A and the angle opposite that edge, we’re going to label as little a.
這條邊作為 A 以及與這條邊相對的角度，我們將標記為小 a。

And, we do the same for this edge and this angle, and this edge and this angle.
並且，我們對這條邊和這個角，以及這條邊和這個角做同樣的事情。

So, all together, the sides are labelled capitals A, B and C, and the angles are labelled little
所以，總而言之，邊被標記為大寫 A、B 和 C，而角被標記為小

a, little b, and little c.
a、小b和小c。

So, the cosine rule is simply this relationship here.
所以，餘弦規則就是這裡的這種關係。

It’s a bit like Pythagoras’ theorem except for this extra term on the end with the cos
它有點像畢達哥拉斯定理，除了在末尾加上 cos 的這個額外項

a in it.
一個在裡面。

Now, let’s apply the cosine rule to the particular triangle we looked at a moment
現在，讓我們將餘弦規則應用於我們剛才看到的特定三角形

ago.
前。

It’s pretty straightforward to write down this particular relationship.
寫下這種特殊關係非常簡單。

We can isolate the term cos alpha which gives us the angle alpha that we’re interested
我們可以分離出術語 cos alpha，它為我們提供了我們感興趣的角度 alpha

in.
在。

And, it’s defined in terms of the constant link lengths, A1 and A2 and the position of
並且，它是根據恆定鏈接長度 A1 和 A2 以及

the end effector, x and y.
末端執行器，x 和 y。

We can write this simple relationship between the angles alpha and Q2.
我們可以寫出角度 alpha 和 Q2 之間的這種簡單關係。

And, we know from the shape of the cosine function that cos of Q2 must be equal to negative
並且，我們從餘弦函數的形狀知道 Q2 的 cos 必須等於負

of cos alpha.
cos 阿爾法。

This time, let’s just write an expression for the cosine of the joined angle Q2.
這一次，讓我們為連接角 Q2 的餘弦寫一個表達式。

Now, we’re going to draw yet another red triangle and we’re going apply some simple
現在，我們將繪製另一個紅色三角形，我們將應用一些簡單的

trigonometry here.
三角函數在這裡。

If we know Q2, then we know this length and this length of the red triangle.
如果我們知道 Q2，那麼我們就知道這個長度和這個紅色三角形的長度。

We can write this relationship for the sine of the joined angle Q2.
我們可以為連接角 Q2 的正弦寫出這種關係。

Now, we can consider this bigger triangle whose angle is beta and this side length of
現在，我們可以考慮這個更大的三角形，它的角是β，邊長是

the triangle is given here in blue.
三角形在這里以藍色給出。

And, the length of the other side of the triangle is this.
並且，三角形另一邊的長度是這個。

So, now we can write an expression for the angle beta in terms of these parameters here.
所以，現在我們可以在此處根據這些參數編寫角度 beta 的表達式。

Going back to the red triangle that we drew earlier, we can establish a relationship between
回到我們之前畫的紅色三角形，我們可以建立之間的關係

Q1 and the angle beta.
Q1 和角β。

Introduce yet another angle, this one gamma and we can write a relationship between the
引入另一個角度，這個伽馬和我們可以寫出

angle gamma and the tooltip coordinates x and y.
角度伽馬和工具提示坐標 x 和 y。

Now, we can write a simple relationship between the angles that we’ve constructed, gamma
現在，我們可以寫出我們構建的角度之間的簡單關係，gamma

and beta and the joined angle we’re interested in which is Q1.
和 beta 以及我們感興趣的連接角是Q1。

And, the total relationship looks something like this.
而且，整個關係看起來像這樣。

Quite a complex relationship, it gives us the angle of joined one, that’s Q1 in terms
相當複雜的關係，它給了我們連接的角度，用術語來說就是 Q1

of the end effector coordinates y and x, and a bunch of constants, a1 and a2, and it’s
末端執行器坐標 y 和 x，以及一堆常量 a1 和 a2，它是

also a function of the second joint angle, Q2.
也是第二關節角度 Q2 的函數。

So, let’s summarize what it is that we have derived here.
所以，讓我們總結一下我們在這裡得出的結論。

We have an expression for the cosine of Q2 and we have an expression for Q1.
我們有 Q2 的餘弦表達式和 Q1 的表達式。

Now, the cosine function is symmetrical about 0.
現在，餘弦函數關於 0 對稱。

So, if we know the value of the cosine of Q2, then there are two possible solutions,
所以，如果我們知道 Q2 的餘弦值，那麼有兩種可能的解決方案，

a positive angle and a negative angle.
一個正角和一個負角。

We’re going to explicitly choose the positive angle, which means that I can write this expression
我們將明確選擇正角，這意味著我可以寫出這個表達式

here.
這裡。

And now, we have what we call the inverse kinematic solution for this two-link robot.
現在，我們有了這個雙連桿機器人的逆運動學解決方案。

We have an expression for the two joined angles, Q1 and Q2 in terms of the end effector pose
我們有兩個連接角 Q1 和 Q2 的末端執行器姿勢表達式

x and y, and a bunch of constants.
x 和 y，以及一堆常量。

You notice that the two equations are not independent.
你注意到這兩個方程不是獨立的。

The equation for Q1, in fact, depends on the solution for Q2.
事實上，Q1 的方程取決於 Q2 的解。

In this case, Q2 is negative and we’re going to write the solution for Q2 with a negative
在這種情況下，Q2 是負數，我們將用負數寫出 Q2 的解

sign in front of the inverse cosine.
符號在反餘弦前面。

Now, we need to solve for Q1, so we’re going to introduce this particular red triangle,
現在，我們需要求解 Q1，所以我們將介紹這個特殊的紅色三角形，

the angle beta that we solved previously, and the angle gamma which is defined in terms
我們之前求解的角度β，以及用術語定義的角度伽瑪

of y and x.
y 和 x。

Now, we write a slightly different relationship between Q1, gamma and beta, different to what
現在，我們在 Q1、gamma 和 beta 之間寫出略有不同的關係，不同於

we had before.
我們以前有過。

There’s a change of sign involved.
涉及到符號的變化。

Then, we can substitute all that previous equation and come up with this expression
然後，我們可以替換之前的所有等式並得出這個表達式

for Q1.
對於 Q1。

Again, there is a change of sign here.
同樣，這裡的符號發生了變化。

Previously, this was a negative sign.
以前，這是一個負面信號。

And, here in summary form is the solution for the inverse kinematics of our two-link
並且，這里以總結形式是我們的雙連桿逆運動學的解決方案

robot when it is in this particular configuration, where Q2 is negative.
機器人處於此特定配置時，其中 Q2 為負。

Let’s compare the two solutions, the case where Q2 is positive and the case where Q2
讓我們比較這兩種解決方案，Q2 為正的情況和 Q2 為正的情況

is negative.
是否定的。

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